NÚMEROS REALES 1

NÚMEROS REALES 

A.) Números reales, racionales, irracionales, enteros.

Ejercicios de Números Reales: Números reales, racionales, irracionales, enteros.
1) Dados los siguientes conjuntos:
a) N = {0,1,2,...}
b) N* = {1,2,3,...}
c) Z = {...-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
d) Z* = {...-3,-2,-1,1,2,3,...}
e) Z+ = 0,1,2,...}
f) Z- = {...-3,-2,-1,0}
Decir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, justificándolas:
a) Z*+ = N
b) Z* U {0} = Z
c) Z - Z*+ = Z*-
d) Z*+ U Z- = Z
e) Z*+ = N* C N = Z+ C Z
2) Siendo el conjunto de los números racionales:
Q = {x/x = p/q; p Î Z; q Î Z; q ≠ 0; p Ù q primos entre si}
escribir los siguientes números racionales en la forma p/q:
a) 5
b) -3
c) 0
d) 1,5
e) 0,35
f) 7,43
g) 0,444...
h) 0,23777...
3) Siendo a Î Z*; b Î Z* decir cuáles de los siguientes números son enteros y justificar:
a) a + b
b) a - b
c) b - a
d) a.b
e) a/b
f) b/a
g) a ²
h) b³
4) Construir un diagrama representando los conjuntos N, Z, Q y R, representando las relaciones existentes entre ellos e indicando dónde están los números enteros negativos, los racionales fraccionarios y los irracionales.
5) Demostrar que 5^1/2 no es un número racional.
6) Escribir usando los signos de desigualdad:
a) a es un número positivo.
b) a no es un número positivo.
c) a es mayor que b.
d) b es menor que c.
e) a está comprendido entre b y c, siendo b menor que c.

B.) Desigualdades. Conjuntos numéricos. Valor numérico.


1) Escribir usando los signos de desigualdad:
a) a es un número no negativo.
b) b no es un número no positivo.
c) c no es menor que a.
2) Completar las siguientes implicaciones:
a) x - 5 > 0 Þx > ...
b) x < -3 Þx + 3 <...
c) -5.x > -10 Þx <...
d) 2.x - 3 > 5 Þx >...
e) x > 7 Þx - 2 > ...
f) 3.x < 9 Þx < ...
g) -3.x < 12 Þx > ...
3) Escribir como intervalo y como conjunto los siguientes subconjuntos de la recta real:
a) El intervalo cerrado de extremos 3 y 7.
b) El intervalo abierto de extremos -5 y 0.
c) El intervalo cerrado a izquierda y abierto a derecha de extremos 5 y 6.
d) El conjunto de los números enteros pertenecientes al intervalo del ítem c).
4) Representar en la recta de los reales los siguientes subconjuntos de números reales:
a) [-10;11]
b) (0;3)
c) (2^1/2;5)
d) 3^1/2 ≤x ≤5^1/2
e) -(7^1/2) < x < 7^1/2
f) 0 ≤x < 2
g) (a;+∞) = {x/x ≥a}
h) (-∞;0)
5) Resolver y representar gráficamente en la recta de lo reales:
a) [-5;3] ∩[3;7]
b) [-∞;7] ∩[8;10]
c) (-∞;0) ∩(0;+∞)
d) (-3;0) È[3;8]
e) (-∞;0) È(0;+∞)
f) (3;5) È[4;7]
6) Calcular el valor numérico de la expresión x = |a + b| - 2.|a|.|b| + |a - b|,sabiendo que a = 2 y b = -5.
7) Sabiendo que a = 10; b = -10, calcular el valor de la expresión:

8) Calcular |x| sabiendo que a = -10, b = 20 y



C.) Potenciación y Radicación.

Resolver los siguientes problemas:

1)

1) a4 + a4 + a4 =	Resultado: 3.a4
2) a4.a4.a4 =	Resultado: a12
3) a4:a =	Resultado: a³
4) a:a4 =	Resultado: a-³
5) a ²:a-2 =	Resultado: a4
6) 3.a³.2.a ².a³ =	Resultado: 6.a8
7) 2-1 + 3-³ + 2-4 =	Resultado: 11/16
8) 2-1.3-³.2-4 =	Resultado: 1/256

2)

3)

D.) Números Reales: Potenciación y Radicación.

Resolver los siguientes problemas:

1)

2)

3)

E.) Números reales. Potenciación y Radicación.

Resolver los siguientes problemas:

1)

2)

3)

.

 F.) Potenciación y Radicación.
1) Calcular las siguientes potencias y raíces:

2) Poner bajo un solo signo radical las siguientes expresiones:



G.) Potenciación y Radicación.
1) Simplificar los siguientes radicales:

2) Reducir a común índice:

3) Extraer fuera del radical todos los factores:


H.) Potenciación y Radicación.
1) Introducir dentro del radical:

2) Efectuar las siguientes operaciones:


I.) Potenciación y Radicación.
1) Efectuar las siguientes operaciones:

2) Racionalizar los denominadores de las siguientes fracciones:



J.) Potenciación y Radicación.
1) Hallar los valores de x que verifiquen, aplicando definición y propiedades del módulo:

2) Resolver:

3) Hallar los valores de x que verifiquen:

4) Racionalizar los denominadores de las siguientes fracciones:

5) Calcular:



K.) Potenciación y Radicación.
1) Escribir las siguientes expresiones utilizando sólo exponentes e índices enteros y positivos:

2) Escribir las siguientes expresiones utilizando sólo exponentes fraccionarios:

3) Efectuar las siguientes operaciones:

4) Hallar el valor de las siguientes potencias:

5) Hallar x sabiendo que:

L.) Potenciación y Radicación.
1) Realizar las siguientes operaciones:








M.) Potenciación y Radicación.
1) Resolver:
a) 10 - {8 + 4 - [5 - 3 + 2 - (-9 + 7 - 4) + 4 + 2 - 5 - (1 - 2) - 21] - 1} =
b) 5 + {-2 + [-2 + (3 - 1) + 2] + 8} - {-3 + [-1 + (-9)]} =
c) 3 - {3 - [3 - (3)]} + 2 - {2 - [2 - (2)]} =
d) 1 - {2 - [3 - (4 + 5)]} - 6 + {-7 + [-8 + (-9)]} =


Ejercicios de aplicación.
Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales:


Fuente: "Fisicanet"