lunes, 26 de septiembre de 2011

NÚMEROS NATURALES

GUÍA: NÚMEROS NATURALES

Ejercicios con números naturales

1) 45 + 15 - 31 - 1 + 8 =
2) 81 - 9 + 48 - 31 + 5 - 3 =
3) 21 - 3 - 7 + 20 + 9 - 10 + 15 - 25 + 10 =
4) 348 + 25 - 22 - 15 + 9 - 3 =

Pasajes de términos de un miembro al otro

13 - a + 11 = 6 + b - z - 1

a) ¿ Cuál es el primer miembro ?
b) ¿ Cuál es el segundo miembro ?
c) ¿ Cuál es el segundo término del primer miembro ?
d) ¿ Cuál es el primer término del segundo miembro ?

En las siguientes igualdades pasar de un miembro al otro, todos los términos subrayados

a) 10 - 4 + a = x + 1
b) a + x - 2 + 5 - 2 = b - 3 + 4
c) 7 - 4 - 2 + 5 - 2 = b - a + 6
d) m + n - 8 - 1 + x = z - 9 - 7
e) 12 + a + 5 = 15 - 1 + x + 2 + b

Efectuar todas las reducciones posibles en las siguientes igualdades

a) x + a - 3 +5 = z - 3
b) 15 + 8 - z + 4 - 8 = 12 - 2 + 13
c) 8 - 4 + z - 8 = k - 1
d) 6 + y - x + 1 = y - 5 + a + 5
e) m + 3 - 5 = 3 - a
f) a - 5 + 3 - b - a + 3 + 5 = b - 3 + x
g) x + 2 +5 - x = 10 - a + 1 + a
h) 9 + 4 - x - z + 8 = 4 + x + 7 - z - 7 + 2

Suprimir paréntesis, corchetes y llaves y efectuar las operaciones.

1) 18 - { 2 + [ 9 - ( 6 - 4 ) - 5 ] }
Respuesta : 14
2) ( 4 + 8 - 3 + 9 ) - 4 - ( 4 + 7 - 3 - 2 ) + ( 12 + 5 - 2 )
Respuesta : 23
3 ) 15 - { 2 - [ 9 + ( 5 - 1 ) - ( 2 + 8 - 9 ) + 6 ] - 7 } +8
Respuesta : 46
4) { 12 + 12 - [ 5 + 1 - 2 + ( 2 - 4 + 8 - 2 )] - 3} - 3
Respuesta : 10
5) 26 + { 5 - [ 1 - ( 4 - 2 ) + 7 ] + ( 6 - 1 + 3 ) } + 4
Respuesta : 37
6) ( 4 - x + 2 ) - [ 1 - ( 2 + x - 1 ) - y ] + 3 - ( 2 + y + 3 )
Respuesta : 4
7) ( 15 - 3 ) - { 2 - [ 5 - ( 8 - 7 + 1 ) + 6 - 2 ] + 4 }
Respuesta : 13

Propiedad distributiva

Ejemplo:
( 2 + 5 +3 ) . 2 = 2.2 + 2.5 + 2.3 = 4 + 10 + 6 = 20

Factor común

( 4 + 10 + 6 ) = Todos los términos son divisibles por 2
4:2 + 10:2 + 6:2 = 2.( 2 + 5 + 3 )

Aplicar propiedad distributiva

a) ( 3 + 5 + 2+ 1 + 4 ).6 =
b) ( 9a + 4b +3m + 2 ).5 =
c) ( 9 - 4 ). 5a =
d) ( 5 + 8 - 3 - 9 ).2 =
e) 4x.( 5b - 2m + y - 4 ) =
f) ( 15x - 10 ).2 =

Sacar factor común

a) ( 30 + 25 - 15 - 10 + 45)
b) 9 - 6 + 18 - 3 + 12 - 21
c) 24 + 36 - 6 + 12 - 42
d) 16 + 20 - 64 + 4 - 40
e) ax + bxy - zx + x - nx
f) 9x + 6ax - 3x - 30xy + 15xz

Resolver aplicando propiedad distributiva

a) ( 81 - 9 + 27 ) : 9
b) ( 21 + 63 + 28 ) :7
c) ( 55 - 44 ) : 11
d) (18x - 6y - 30z + 12a - 6 ): 6
e) ( 10n + 15mn +5an + 25nx + 50n):5n
f) ( 80ax- 60ay ) : 10a
Resolver las siguientes potencias
Aplicar propiedades de la potenciación
a) (5 . 10 . 4 )² =         b) ( 36 : 12 )² =           c) ( 1 . 4 . 2 ) ³          d) ( 6 : 2 )⁴

Calcular
a) a² . a⁵ . a⁶ . a =           b) 3² . 3 . 3⁷ . 3⁰ =          c) ( b⁵ : b ) . ( b³ : b² ) . ( b₉ : b⁷ ) =
d) 16² : 4² =                e) ( a² )³ : a⁵ =                 f) ( 3x² )² . x³ =          g) ( p³ : p )² : [ ( p³ )² ]⁰ =
h) ( 5 a³b² c⁴ )² =         i) ( 3a + 5 )² =          j) ( 2a²x + 3a )² =          k) ( 3x - 7 )² =
l) ( 4a³ - 3a )²=

Aplicar propiedades de la radicación
1)√(2³ + 1) =           2) √10 . √10 =         3)  ³√9 . ³√3 =     4)  ⁵√( 6. 5 + 2 ) =

NÚMEROS ENTEROS

GUÍA: NÚMEROS ENTEROS

Ejercicios números enteros

Sumar
( + 5 ) + ( + 3 ) = ( - 8 ) + ( - 5 ) = ( - 3 ) + ( + 9 ) = (- 2 ) + ( - 15) =
( - 1 ) + ( + 7 ) = ( - 5 ) + ( + 0 ) = ( - 5 ) + ( + 5 ) = ( - 4 ) + ( - 4 ) =
Restar
( + 5 ) - ( + 3 ) = ( - 8 ) - ( - 5 ) = ( - 3 ) - ( + 9 ) = ( - 2 ) - ( - 15 ) =
( - 1 ) - ( + 7 ) = ( - 8 ) - ( + 0 ) = ( - 5 ) - ( + 5 ) = ( - 4 ) - ( - 4 ) =
Completar

..........m..............	..........n..............	.........m + n..........	.........n - m..........	........- m - n.........
...........- 3...........	...........- 2............	...........................	..........................	...........................
..........- 5...............	............3...............	...........................	.............................	.............................
.............4...............	...........- 2...............	.............................	.............................	.............................
...............5............	...............3.............	.............................	.............................	.............................

Resuelve las siguientes sumas algebraicas
a) - 30 + 8 - ( - 5 ) + 1 - 5 - ( -3 ) + ( - 7 ) =Respuesta : - 25
b) - 4 + ( - 2 + 1 ) + 5 - [ 3 - ( 1 - 2 ) + 4 ] + 1 - 2 =Respuesta : - 9
c) - 19 + ( - 4 ) - ( - 8 ) + ( - 13 ) - ( - 12 ) + 4 - 57 =Respuesta : - 69
d) 3 - [ - 2 + 1 - ( 4 - 5 - 7 ) ] - 2 + [ - 3 - ( 5 - 6 - 1 ) + 2 ] =Respuesta : - 5
e) - 8 + ( - 2 ) - ( - 10 ) - 2 + 5 =Respuesta : 3
f) ( 3 - 8 ) + ( - 5 - 2 ) - ( -9 + 1 ) - ( 7 - 5 ) =Respuesta : - 6
g) - [ 12 + ( - 3 ) ] - ( - 4 ) - 5 + 6 - ( - 4 ) =Respuesta : 0
h) 5 + [ 2 - ( ( 4 + 5 - 3 ) + 6 ] - 1 - ( 3 + 5 ) =Respuesta : - 2
i) - 4 ( 4 - 5 + 2 ) - 3 - { 1 - [ 6 + ( - 3 - 1 ) - ( - 2 + 4 ) ] + 3 - 4 } =Respuesta : - 4
j) 10 - [ - 2 + ( - 3 - 4 - 1 ) + 1 - ( - 4 - 2 + 3 - 1 ) - 4 ] =Respuesta : 19
k) ( - 6 + 4 ) - { 4 - [ 3 - ( 8 + 9 - 2 ) - 7 ] - 35 + ( 4 + 8 - 15 ) } =Respuesta : 13
l) - 6 - { - 4 - [ - 3 - ( 1 - 6 ) + 5 ] - 8 } - 9 =Respuesta : 4
m) - 3 + { - 5 - [ - 6 + ( 4 - 3 ) - ( 1 - 2 ) ] - 5 } =Respuesta : - 9
n) - ( 9 - 15 + 2 ) + { - 6 + [ 4 - 1 + ( 12 - 9 ) + 7 ] } - 3 = Respuesta : 8
o) - { 3 - 8 [ 4 - 3 + ( 5 + 2 - 10 ) - ( 4 - 5 ) - 3 ] + 4 - 8 } + 2 =Respuesta : 7
Calcula los siguientes productos
( - 8 ).( - 3 ) =            ( + 12 ) . (+ 2 ) =            ( - 7 ) . ( + 4 ) =
(+ 13 ) . ( - 3 ) =            ( - 25 ) . ( - 5 ) =
Calcula los siguientes cocientes
( - 21 ) : ( - 7 ) =             ( + 15 ) : ( + 3 ) =             ( - 18 ) : ( + 3 ) =
( + 63 ) : ( - 9 ) =             ( - 12 ) : ( - 6 ) =
Resuelve aplicando propiedad distributiva
a) ( - 12 + 24 - 18 ) : ( - 6 ) =
b) ( - 3 ). ( 6 - 8 + 4 - 3 ) =
c) ( 45 - 18 + 81 ): ( - 9 ) =
d) ( 12 - 7 - 8 + 1 ) . ( - 2 ) =
e) ( - 35 - 42 - 63 ) : ( + 7 ) =
f) ( + 4 ) . ( - 8 + 5 - 6 +2 ) =
g) ( - 72 + 24 - 48 - 12 ) : ( + 12 ) =
h) ( - 6 + 4 - 3 - 5 ) .( - 10 ) =
Resolver las siguientes operaciones
a) ( + 5 ) . ( - 12 ) : ( + 4 ) =Rta: - 15
b) ( - 15 ) . ( - 2 ) : [ ( + 3 ) . ( + 2 )] =Rta: 5
c) ( - 3 ) . ( + 2 ) . ( - 4 ) : ( - 6 ) =Rta: 4
d ) ( - 2 + 7 ) . ( - 3 - 1 ) : ( - 2 ) - (- 3). (- 2)=Rta: 10
e) ( -10 - 2 . 4 ) : ( - 2 - 1 ) + ( - 6 ) : ( - 3 ) - ( - 1 )=Rta: 2
f) ( - 24 ) : ( - 7 + 1 ) - ( -4 -2 . 3 + 1 ) =Rta: 13
g) ( - 5 ) - ( + 4 ) :[ ( - 2 ) - ( - 3 ) ] = Rta: - 9
h) ( + 4 ) - [ ( - 15 ) : ( + 3 ) ] + ( - 4 ) . ( - 2 ) =Rta: 17
Separar en términos y resolver
a) ( - 2 - 3 + 4 ). 5 - 9 . ( - 2 - 6 ) =                                                   Rta: 67
b) ( - 5 - 10 - 32 ) . ( 4 - 8 - 16 ) =                                                    Rta: 940
c) - 2 + 3 . 5 - 7 . ( - 3 + 2 - 8 ) - 4 =                                                Rta: 72
d) ( 2 - 10 ) . ( 6 - 3 ) - ( - 8 - 2 ) . ( - 9 - 7 ) =                                   Rta : - 184
e) 15 + 16. 2 - 3 . ( 5 . 2 + 4 - 3 . 2 ) - [ 2 + 2 . ( - 2 ) - 9 ] . ( - 5 ) =   Rta : - 32
f) 10 - ( - 2 - 1 + 5 . 3 ) . [ - 4 + 1 . ( - 1 ) ] + 8 + 4 . ( - 2 ) =              Rta: 70
g) - 10 - 4 . ( - 3 ) + 15 : ( - 3) + ( - 8 ) =                                            Rta: -11
h) ( 4 - 8 ) : ( - 2 ) - ( -27)+ (-15).3=                                                  Rta: - 16
i) 3 . ( - 5 ) + 8 : 2 - 9 : 3 + 4 =                                                          Rta: - 10
j) 3. [ ( - 25 ) : 5 + ( 8 - 4 : 2 ) ] - 11 =                                                Rta: - 3
k) - [ 45 : ( - 5 ) + 3. ( 7 - 2 ) ] + 8 =                                                   Rta: 2
l) 17 - ( - 4 ) . 5 + 18 : ( - 9 ) - 18 =                                                     Rta: 17
ll) [ 15 - ( - 3 ) . 4 ] . ( - 2 ) - 8 . ( - 4 ) + 1 =                                        Rta: - 21
m) - [ 4 - ( - 2 ) . 5 ] + 1 . ( -1 ) - 18 =                                                 Rta: - 33
n) 7 + 8 : ( - 4 ) - [ 4 + ( - 12) : 4 ] =                                                    Rta: 4
ñ) ( -4 + 5 ) : ( - 1 ) + 3 - 21 : ( - 7 ) : 3 [ - 11 . ( - 2 ) - 19] =                 Rta: 0
0) ( - 24 ) : ( - 6 ) - { 8 : ( -4 ) - ( - 2 - 3 )} . 2 + 1 =                              Rta: - 1
p) ( - 3 ) + 3. ( - 4 + 5 ) - 5 .[ - 2 + 7 . ( - 1 ) + 9 ] =                              Rta: 0
q) ( - 1 - 8 ) : ( - 3 ) + ( 9 - 2 . 5 ) . ( - 2 ) . ( - 2 ) =                                Rta : -1

NÚMEROS RACIONALES

GUÍA: NÚMEROS RACIONALES

Ejercicios de números racionales

Escribir en orden decreciente los siguientes números fraccionarios
Completa con < , > o = según corresponda

-1/2 5/4 ; 3/5 3/4 ; 7/4 14/8 ; 2^3/5 2^2/3

Reducir a fracción impropia los siguientes números mixtos

3^1/4; 1^2/5; -4 ^2/7; -2^2/3 -5^3/7

Reducir a números mixtos las siguientes fracciones impropias

17/6 ; 5/2 ; 24/7 ; - 13/11 ;- 34/5 ; - 7/3 ; - 9/4 ; 27/8 ; 36/13 ; - 41/9

Completa con < , > o = según corresponda

-1/2 ⇒ 5/4 ; 3/5 ⇒ 3/4 ; 7/4 ⇒ 14/8 ; 2^3/5 ⇒ 2^2/3

- - - - - - - - - - -

Sumar los siguientes números racionales

a) 5/6 + 2/3 + 3/5 + 4/27 + 8/9 = b) 5/11 + 1/33 + 1 +2/3 +2 =

c ) 9/16 + 7/12 + 5/8 + 1/2 +5/6 + 1/4 = d ) 5/12 + 7/18 + 4 + 1/6 + + 2 =

e) 1/5 + 3/4 + 1/2 +2/3 = f) 2 1/2 + 3 3/4 + 4 1/5 =

- - - - - - - - - - -

Restar los siguientes números racionales

a) 7 - 1/4 = b) 3/8 - 1/4 = c) 2 3 - 5/12 = d) 3 - 7/10 =

e) 11/9 - 1 = f) 7/8 - 9/16 = g) 4 3 - 1/2 = h ) 10 - 8/6 =

i) 2 15 - 2/3 = j) 3/5 - 3 =

Restar los siguientes números

a) - 3/7 - ( - 5/6) = b) - 4/35 - ( + 4/9 ) = c) 5/8 - ( - 7/12 ) = d) 1 4 - ( - 9/16) =

- - - - - - - - - - -

Resolver

a) 1/2 - [ 2/7 - 3/4 - ( 5/14 + 1 ) + ( 1/4 + 1/7 - 3/4 ) + 2 =                                                      R: 19/28
b) 11/15 - 1/3 - { 2/5 - 5/6 - [ 3/4 - 1/2 - ( 7/30 + 4/5 - 1 ) + 1/4 ] } - 1 =                                 R:3/10
c) 9 - ( 6/7 + 7 ) + [ 2 - 1/2 - ( 7 - 1/2 ) ] + 3 =                                                                         R: -6/7
d) 2/3 - [ - 1/2 + 1 - ( 3/4 - 5/12 - 1/2 ) - 2 ] - 1/4 - { - 1 + [ 2/3 - ( 2 6 - 1 4 )]} =                    R: 3
e) 5/6 + [ - 1/3 - 1 - ( - 3/2 + 1 3 - 4/9 ) - 2 - ( 7/18 - 1 + 4/9 ) ]                                              R: - 31/18
f) 2 - [ - 4/5 - ( 4 - 7 ) + 1/9 - ( 10/9 - 6 ) ] + 2 - 1 =                                                                R: - 21/5
g) - 1 - { - 1/2 + 3/4 + [ - 2 + 5/6 - ( 1/3 - 1 ) ] - 1/6 } - 1/3 =                                                   R: - 11/12
h) 2 - { 1/3 + 5/6 - 1 + [ 3/4 - 3 - ( 7/3 + 1 - 1/2 ) - 5/4 ] + 2 } =                                               R: 37/6
i) 47/50 + 1 - { 3/25 - 1/5 + [ 3/2 - ( 9/10 - 1/2 ) - ( 3/5 - 1/10 ) - 4/25 ] } =                             R: 29/50
j) 5 + { - 1/2 - 2 - [ 3/4 - 5/6 + ( - 1 + 1/3) ] + 5/4 } + 1 =                                                        R: 11/2
k) 1/7 + { 1/3 - [ 1/4 + ( 1/5 - 1/6 ) + 1/7 ] + 7 } = R: 141/201
l) 2 - ( 1/2 + 5 ) - [ 4 - 2/3 - ( 9 + 1/8 ) ] =                                                                               R: -1 8
m) 4 - [ ( 4/3 - 5/4 ) + 3/60 =                                                                                                  R: 119/30
n) ( 1/4 - 1 ) - ( 3/4 + 1/2 - 5/8 ) =                                                                                           R: - 1/8
ñ) ( - 3/4 - 1/2 + 1 ) - [- 1 - ( -1/4 - 1/2 ) ] =                                                                             R: 0
0) - 1 + ( - 2/3 + 3/2 ) - ( - 1/6 + 3/4 ) =                                                                                   R: - 3/4

- - - - - - - - - - -

Convertir los números mixtos a fracción y las fracciones a número mixto.
1^1/3 2^1/5 ; -8/5 - 4/3 ; 10/6 15/9 ; 8/9 6/7

Calcular los siguientes productos

a) 5/4 . ( - 8/3 ) . ( - 3/2 ) = b) 16/5 . 15/8 .12/5 = c) 9/4. 17/12 .9/3 =

d) 2 3 . 3 2 =                                                             e) 8/3.( -7/22 ). ( - 2 ) . 15/22. ( . 1/5 ) =
f) 45/19 . 38/33. 22/15 . 9 . 1/12 =                            g) 12/5 . 1/4 . 8/9 . 7/10 . 1/14 =

Calcular las siguientes divisiones
a) 12 : 4/3 =                            b) ( - 1 ) : 2/7 = c) 3 : 11/5 = d) 1/2 : 2 =

e ) 3/2 : ( - 15 ) = f) 2 5 : 3 10 = g) ( - 8/3 ) : 3 2 = h) ( - 5/2 ) : ( - 7/2 ) =

- - - - - - - - - - -

Hallar
a) los 3/6 de 405 b) los 2/7 de 777 c) los 5/12 de 1 d) los 4/35 de 70
e) los 9/4 de 36 f) los 5/6 de 6 g) los 3/4 de 3 h) los 3/5 de 25

- - - - - - - - - - -

Aplicar propiedad distributiva

a) ( 2/3 + 1/4 + 3/5 ) . 1/6 = b) ( 5/4 + 1/14 + 3/2 + 1/3 ) . ( - 7/3 ) =

c) ( 3 - 1/5 + 5/2 ) . ( - 1/3 ) =                                             d) ( 7/4 - 9 - 1/2 ) . ( - 1/6) =
e)( 1/5 + 1/3 + 1/2 ) : 4/15 =                                                f) ( 9 - 6/7 ) ( - 2 + 7/3 ) =
g) ( 5/9 + 1/3 + 5/6 ) : 3 =                                                   h) ( 3/4 + 3/16 + 5/8 ) ( 4 - 1/2 ) =
i) ( 3 - 4/5 + 4/3 - 1 ) : ( - 4 ) =                                            j) ( 5/2 + 5/6 ) ( - 3/2 - 4/3 ) =

- - - - - - - - - - -

Ejercicios combinados

1) { 2 + [ 1 : ( 3 + 1/4 ) + 9/13 ] } : {[ 3 - 2 : ( 5/3 - 1/2 ) ]} = R: 7/3
2) { 1/3 [ 1 + ( 3 : - 1/4 ) ] } : { 2 [ 1/2 + 3 : ( 3/4 - 1/2 ) ] } - 1/3 = R: - 12/25

3) { [ ( 2/3 + 4/5 ) : ( 1 + 3/8 ) - 2/5 ] . ( - 37/4 + 5 2 ) } = R: - 5/2
4) [ ( 1/2 - 3/5 : 3 ) : ( 1/6 - 2/3 ) ] : [ ( - 1 + 1/3 ) : ( 2 - 1/3 ) 3 ] = R: 9/2
5) [ ( - 3 + 5/4 + 3/4 : 1/8 ) : ( 1/2 - 1/2 : 1/4 ) ] . [ - 1/2 : ( 2 - 5/3 . 5/4 ) ] = R: - 17
6) 2 + 1/10 - 3 : 1/2 + 3/5 . 1 20 = R: 96/5

Calcular el valor de las siguientes expresiones

a) 1 + [ 2/3 - 1/2 + 3/4 ( 8/9 - 1/3 + 2 ) - 5/6 ] R: 9/4
b) 4/3 + 2/5 ( 5 - 10/3 ) + [ 1/2 ( 2+ 4/5 - 5/3 ) - 1 ] = R: 47/30
c) 29/30 - [ 4/5( 5/6 - 3/8 ) - ( 2/3 + 1 - 1/2 ) + 1/4 ] - 7/5 = R: 7/60
d) 5/4( 1/5 + 1 - 4/5 ) - { 1/8 - [ 3/4 + 4/7 ( 21/8 - 7/5 ) - 1/2 ]} = R: 53/40

- - - - - - - - - - -

Potencias de igual base

a) ( 1/2 ) ³ . ( 1/2 ) ² . ( 1/2 ) ² =
b) ( 2/3 ) ². ( 2/3 )⁵ . 2/3 =
c) ( - 1/3 )⁴ . ( - 1/3 )² . ( - 1/3 ) = d) ( - 2 ) . ( - 2 ) . ( - 2 ) =

- - - - - - - - - - -

Divisiones

a) ( 1/6 ) ⁷ ÷( 1/6 )⁵ = ...........b) ( 2/3 )⁴ ÷( 2/3 ) =
c) 10³ ÷10^-3 = ............. d) ( - 2 )^{- 7} ÷( - 2 )^{- 9} =
e) 1/2 ^{- 4}÷1/2^{- 2} =........ f) 3/5^{- 6} ÷3/5^{- 2} =
g) ( - 1/3 )^{- 1} ÷( - 1/3 )³ =......... h) 4/5 ^-2 ÷4/5 =

- - - - - - - - - - -

Potencia de potencia

a) [ ( 3/2 )² ] ³ =...........b) { [ ( 7/8^{- 2} )⁵ ]⁰ } =........ c) { [ ( - 1/2 )² ]^-1 }⁰ =
d) { [ 10 ^{- 2} ]² }^{- 1} = ........ e) [ ( - 2/7 )^{- 3} ]⁴ =....... f) { [ ( - 1 )^{- 1} ]^{- 2} }⁰=

Hallar las siguientes potencias

( - 7/9 ) ¹ = ..... ( - 5/8 )³ =........( - 5/7 )⁰ = ( - 3 ab )³÷(4 xy)=
( 5m n )÷( 6a³b⁴c) ³ =

Calcular las siguientes potencias

a) 3 ^{- 4} =..... b) ( - 4 ) ^{- 3} = ......c) ( - 9 ) ^{- 3} =..... d) ( - 6 ) ^{- 1} =....e) ( 1/2 )^{- 7}f) ( a/5 )^{- 3} =.....g) ( - 3/b ) ^{- 2} = ....... h) ( 2/3 )^{- 2} = ..........i ) ( 1/2 )^{- 3} = ...... j) ( m/n) ^{- 8 =}

Aplicar la propiedad distributiva

a) ( 1/2 . 3/4 . 1/10 ) ² = ......b) [ ( - 1/2 ) . ( - 1/4 ) . ( - 1 ) ] ⁵ =
c) ( 7 : 12 ) ^{- 2} = ....... d) [ ( - 4 ) : 1/3 ]³ =
e) [ - ( 3/5 ) : 2/7 ]² = .....f) [ ( - 4/3 ) . ( -15/4 ) . ( - 1/5) . ( - 3 ) ]^{- 1} =

Ejercicios combinados

a) ( a + 1 ) ² - ( a - 1 )² = ......... b) ( a + 2 ). a + ( a - 1/2 ) ² = ......c) ( a + 1/2 )² =
d) ( 1/2 - x ) + x = e) 2 ^{- 1} - ( 5 - 2 ) ^{- 2}+ 1/2 =
f) ( 2 ^-1 + 1 ³)÷(2^{- 2}- 3^{- 1)} - ( 1 - 2^{- 1} ) =
g)[ ( - 2 ) ^{- 2} - ( - 1 - 1 ) ^{- 3} + ( -3 + 1 )^{- 1} ]÷ -2 -1 [ (- 2 + 1/2 ) ^{- 2} - 2 ]

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Ecuaciones

1) 2/3 = x/9 = x/27 2) 15/18 = x/6 = x/42 3) 9/25 = x/100 = x/1000

4) -5/7 = -15/x = - 60/ 84 5) - 4/5 = x/10 = x/1000 6) 3/8 = 12/x = x/ 200

NÚMEROS DECIMALES

GUÍA: NÚMEROS DECIMALES

Ejercicios

Escribe las siguientes fracciones decimales en número decimal
    12                                           4913
   100                                           1000

    398                                           73 64
   10000                                         100
    96                                           91
   1000                                      1000000

Escribe en forma de fracción los siguientes números decimales

0,0036 =            724,1 =             0,008 =            65,23 =             3,0009 =

Completa < , > ó = según corresponda
0,8005 _ _ _ 0.805                  0,53 _ _ _ 0,525                   -3,6 _ _ _ - 3,06
- 0,05 _ _ _ - 0,08

Ordenar de menor a mayor
3,7 ; - 2,04 ; 8,05 ; 8,7 ; 8,008 ; 8,16 ; - 2,3 ; - 2,005 ; 8,19

Sumas
a) 4,15 - 0,009 + 26,3 =
b) 14 - 4,821 +7,286 =
c) 138 + 14,26 - 0,13 - 35 =
d) 37,5 - 0,018 + 19,42 - 28,4 =

Multiplicar
a) 13,41 . 5,6 =
b) 0,19 . 0,0034 =
c) 128,3 . 0,0351 =

Calcular en forma directa los siguientes productos
a) 2,7 . 10 =                               e) 0,00005 . 1000 =
b) 3,78 . 100 =                            f) 1,00024 . 10000 =
c) 0,57 . 10 =                              g) 0,0064 . 100 =
d) 0,829 . 100 =                        h) 8 . 1000=

Calcula en forma directa los siguientes cocientes
a) 3,98 : 100 =                        e) 8975 : 100 =
b) 49 : 1000 =                        f) 0,2 : 1000 =
c) 834, 9 : 10 =                        g) 9 : 10000 =
d) 4,3 : 10000 =                     h) 7, 5 : 10 =

Calcular
a) ( 0,12 )² =                             f) √6,25 =
b) ( 1,5 )² =                               g) √0.04 =
c) ( 0,1)⁵ =                              h)³√0,008 =
d) ( - 1,2 )² =                            i)⁵√- 0,00032 =
e) ( - 0, 003 )⁴ =                         j) ³√- 0,000064 =

Notación científica
1) Escribir usando notación científica
a) 540 000
b) 0,0007869 =
c) 0,00005 =
d) 80 000 =
e) 24 000 000 =
f) 1800 =

Resuelve aplicando notación científica
a) 4,8 . 10 ^{- 4} . 2,5 . 10^{- 3} =
      9600 . 1,25 . 10⁵
b)0,1 ⁵ . 3,2 . 10 ^{- 1} 2,4 . 10 ^{- 2}  =
      1200 . 0,016 . 10 ²
c) 3 . 10⁹ . 2,8 . 10 ⁷ =
    2 . 10 ³ . 1,2 . 10 ⁶

Escribe en forma decimal los siguientes números
4,5 . 10 ^{- 5}  =                         8,24 . 10 ⁷ =
5 . 10 ^{- 4} =                             7,5 . 10 ^-8 =
1,3 . 10 ⁴ =                               4,1 . 10 ⁶ =

Composición polinómica
5. 10^{- 4} + 3. 10³ + 3. 10^{- 3} + 2 . 10⁰ + 7. 10^-2 =
9 . 10^-3 + 5 . 10⁴ + 3 . 10² + 8 . 10 ^-1 =

NÚMEROS REALES

GUÍA: NÚMEROS REALES

Ejercicios

Extraer fuera del signo radical todos los factores posibles

a) ⁵√ 64x⁴y⁷ b) ³√ x⁶y⁹ c) ⁴√ 0,01 y ⁴ e) ³√16 / 125 x⁴ m⁶z ² d)√ 200 b⁵a⁹z

Introducir los factores dentro del radical

a) 3 a³b⁴³√1/9 ab b)2/3 x y³m⁴ ⁴√3y / 2m c)7 x²a ³/ 2z ⁵√9³/ a ⁴

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Resolver las siguientes operaciones con radicales

1) 18 √72 + 2 √98 =
2) 12 √45 - 8 √80 =
3) 2 √128 - √18 + 4 √32 =
4) 2/3 ³√108 - 1/4 ³√32 + 3/5 ³√500 - ³√4 =
5) 2/a √3a³ - a √20a - 3/ a²√5a⁵ + 4√180a=
6) 2 ³√16 - 1/3 ³√54 + 2/5³√ 25 =
7) 2 √3a³- a √48a + 1/2a √75a - 1/3 √3a³=
8) √12 + √75 - √27 - √48 =               Rta = 0
9) √32 + 2 √64 + 3 √8 =                   Rta = 10 √2 + 16
10) √54ya⁶ + √32a⁸y + √18a⁴y =      Rta = 8 a²√2y
11) √20 a⁷+ a √45 a⁵ + 1/a³√125 a¹³=            Rta = 13a³√5a

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Multiplicación

1) ⁵√8m²a³ . ⁵√4m⁴a . ⁵√2ma =
2)⁴√125x³y . ⁴√5x² y³ . ⁴√xy =
3)⁵√8a⁴b³m . √1/2am =
4) ³√xy . ⁴√x² . √y⁵ =
5) ³√81a³b² . ⁴√27a²b =
6) √3. ( 2 √5 - 3 √4 ) =
7) √2 .( √10 - 2 √2 ) =
8) ( 5 √3 + 2 √5 )² =

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Dividir

1) 2 ⁵√xy : - 3 ⁵√1/ x² =
2) ⁴√6m³x² : ⁴√3mx =
3) ³√ab² : ⁸√a³b =
4) ⁶√x⁵y⁴ : ⁴√x²y³=
5) ⁵√1/27m⁴a² : ⁶√1/3 m³/ a⁵=

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Racionalizar los denominadores

a)             7                               b) 1 + √2
         --------------- =                     ------------- =
             √8 - 2                                  2 -   √2
c) √3 -   √2                                d)        1
     ------------   =                                 --------------- =
       √3 + √2                                      √22 +√21
e)          5                                   f)           9
     --------------- =                               ---------------- =
         ⁷√x⁵                                            ³√27
g)    3√6 + √2
       -------------------- =
        4 √1/2 + 3√1/6

NÚMEROS COMPLEJOS

GUÍA: NÚMEROS COMPLEJOS

Ejercicios

Representar graficamente los siguientes complejos

B = 6
D = 3 - i
E = - 5i
F = - 8 - 7i

Sumar

1) ( 4 + 2i ) + ( 2 + 3i ) =                                                                     Rta: ( 6 + 5i )
2) ( -1 + i ) + ( 2 - i ) =                                                                         Rta: ( 1 )
3) ( 1 - √2i ) + ( - 2 + 3√2i ) =                                                             Rta: ( - 1 - 2√2i )
4) ( 2/5 - 3i ) + ( 7/10 - 3i ) =                                                              Rta: ( 11/10 - 6i )

Restar

1) ( 3 + 4i ) - ( 1 + 3i ) =                                                                      Rta: ( 2 - i )
2) - 1/3i - ( 1/2 - 3/5i ) =                                                                      Rta: ( - 1/2 + 4/15i)
3) ( 1/5 + 3/2i ) - ( 9 - 3i ) =                                                                 Rta: ( - 44/5 + 9/2i)
4) ( - 1/3 + 2/3i ) - ( 5/6 - i ) =                                                             Rta: ( - 7/6 + 5/3i )

Sumas algebraicas

1) ( 3/2 + 1/5i ) + ( - 1/3 + 4i ) - ( 1/2 - 1/5i ) =                                     Rta: ( 2/3 + 22/5i )
2) ( 1/4i ) - ( - 5i ) - ( 3i ) =                                                                    Rta: 9/4i
3) ( 5i ) + ( - 3 + 4/5i ) - ( 3/5i) - ( - 3 - 4/5i ) =                                     Rta: 6i
4) ( - 1/3i ) + ( 1/3 + 3i ) + ( -1/3 - 3i ) + ( - 5i ) =                                 Rta: -16/3i

Multiplicar

1) ( 4 + 1/3i ) . ( 5 + 3/2i ) =                                                                    Rta: ( 39/2 + 23/3i )
2) ( √7 - √5i ) . ( √7 + √5i ) =                                                                  Rta: ( 7 - 5i )
3) ( - 1/3 - 1/2i ) . ( 2 - 4/5i ) =                                                                 Rta:( - 16/15 - 11/5i )
4) ( 1/2 - i ) . ( 1/2 + i ) =                                                                          Rta: - 3/4

Dividir

1)         3 - 3i
          _______ =
           - 6 + 6i

2)        - 1/2 + 2i
       ___________=
             2/3 - i

3)       ( - 1/2 - 1/5i ) : ( - 1/2 + 1/5i ) =

4)       ( - 9 - 3/5i ) : ( - 9 + 3/5i )

Ejercicios combinados

1) (√2 + √2 )²- ( 1 - √3i²) - √3i =
   ( 2       2         2       2 )

2)  1 - i         -       3         =
       i                2 - i

3)        i ⁴ + i ⁹ + i ¹⁶
         _______________ =
          2 - i⁵ + i ¹⁰ - i ¹⁵

4) i¹⁸ =                   ( - i)⁴ =                               1     =                 ( - i )²⁶ =                   ( - i )¹⁰ =
                                                                          i¹⁴
a) 2i .( 1 - i ) =

b) ( - 3i )⁴ .( - 1 - i )
_________________ =
   ( 2i )³

Graficar y pasa a la forma polar trigonométrica

a) 4 + 4i                 b) -3 + i                c) 5
d) - 2,5                    e) 2 + 3i                f) 2,5i

TEORIA DE CONJUNTOS

TEORÍA DE CONJUNTOS:

EJERCICIOS DE TEORÍA DE CONJUNTOS

Verdadero o falso:
1. $\forall x : x \supsetneq \emptyset$ .
2. $\forall x : \emptyset \in x$ .
3. El único conjunto que es subconjunto de todos los conjuntos es el vacío.
4. $\emptyset \in \{ \{ \} \}$ .
5. $\emptyset \subseteq \{ \{ \} \}$ .
6. $\{ 1 \} \in \mathbb{N}$ .
7. $\{ 1 \} \subseteq \mathbb{N}$ .
8. $\{ 1, \{ 2 \} \} \subseteq \mathbb{N}$ .
Sea $2\mathbb{N}$ el conjunto de los números naturales pares ( $0, 2, 4, \ldots$ ). Escriba $2\mathbb{N}$ intensionalmente; más precisamente, encuentre una propiedad , distinta de `` es par'', tal que $2\mathbb{N} = \{ x \in \mathbb{N} : P(x) \}$ .
Sea el conjunto de los números primos (un primo es un entero mayor que cuyo único divisor mayor que es él mismo). Escriba a intensionalmente.
Muestre que $\{ 2x + 5 : x \in \mathbb{Z} \} = \{ 1 + 2y : y \in \mathbb{Z} \}$ .
Pruebe las siguientes propiedades de la unión y la intersección:
1. $A \subseteq A \cup B$ ; $A \cap B \subseteq A$ .
2. $B \subseteq A$ si y sólo si $A \cup B = A$ ; $B \subseteq A$ si y sólo si $A \cap B = B$ .
3. , $B \subseteq C$ si y sólo si $A \cup B \subseteq C$ ; , $B \supseteq C$ si y sólo si $A \cap B \supseteq C$ .
4. $A \cup B = A \cap B$ si y sólo si .
$A \cup B = (A \smallsetminus B) \cup (B \smallsetminus A) \cup (A \cap B)$ .
Muestre que $A \subseteq B$ si y sólo si $\mathcal{P}(A) \subseteq \mathcal{P}(B)$ .
¿Verdadero o falso? (dar una prueba o un contraejemplo):
1. Si para todo se tiene $X \cap B = X \cap C$ , entonces .
2. Si existe un tal que $X \cap B = X \cap C$ , entonces .
3. $(A \cup B) \cap C = A \cup (B \cap C)$ .
4. Si $A \subseteq B$ y y son disyuntos, entonces $A \cap ( B \cup C) = A$ (¿puede debilitar las hipótesis?).
5. $(A \cup B) \smallsetminus A = B \smallsetminus A$ .
6. $A \subseteq B$ si y sólo si $A \smallsetminus B = \varnothing$ .
7. $A \smallsetminus (B \smallsetminus C) = (A \smallsetminus B) \smallsetminus C$ .
Dados dos conjuntos y , definimos su diferencia simétrica así: .
1. Muestre que $A \bigtriangleup B = ( A \cap B^{c} ) \cup ( B \cap A^{c} )$ .
2. Muestre que $A \bigtriangleup B = ( A \cup B ) \smallsetminus ( A \cap B )$ .
3. Muestre que la operación $\bigtriangleup$ es conmutativa y asociativa.
4. ¿Qué conjunto es $A \bigtriangleup \varnothing$ ?
5. ¿Qué conjunto es $A \bigtriangleup \mathcal{U}$ ?
6. ¿Si $A \subseteq B$ , qué conjunto es $A \bigtriangleup B$ ?
7. Muestre que $( A \bigtriangleup B)^{c} = (A \cap B) \cup (A \cup B)^{c}$ .
8. Muestre que si y sólo si $A \bigtriangleup B = \varnothing$ .
Sean . Mostrar las siguientes igualdades:
1. $(A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3})^{c} = A_{1}^{c} \cap A_{2}^{c} \cap A_{3}^{c}$ .
2. $(A_{1}^{c} \cup A_{2} \cup A_{3}^{c})^{c} \cup A_{3}^{c} \cup A_{1}^{c} \cup A_{2} = \mathcal{U}$ .
3. $((A_{1}^{c} \cup A_{2})^{c}\cup A_{2})^c \cup (A_{2}^{c} \cup A_{1})^{c} \cup A_{1} = \mathcal{U}$ .
Compare los siguiente pares de conjuntos de acuerdo a la relación (piense antes en ejemplos con conjuntos pequeños, después intente demostrar en general las contenencias que cree que siempre valen):
1. $\mathcal{P}(A^c)$ Vs. $( \mathcal{P}(A) )^{c}$ .
2. $\mathcal{P}(A \smallsetminus B)$ Vs. $\mathcal{P}(A) \smallsetminus \mathcal{P}(B))$ .
3. $\cap_{i \in I} (A \cup A_{i})$ Vs. $A \cup ( \cap_{i \in I} A_{i} )$ .
4. $( \cup_{i \in I} A_{i} ) \smallsetminus ( \cup_{i \in I} A_{i} )$ Vs. $\cup_{i \in I} ( A_{i} \smallsetminus B_{i} )$ .
Ejercicios de uniones e intersecciones generalizadas:
1. Muestre que $\displaystyle \mathbb{Q} = \bigcup _{x \in \mathbb{Q}} ( \cap _{\varepsilon > 0} (x - \varepsilon, x + \varepsilon))$ .
2. Dado $s \in \mathbb{R}$ , sea $E_{s} = \{ s \}$ . ¿Qué conjunto es $\displaystyle \bigcup_{s \in \mathbb{Q} } E_{s}$ ?
3. ¿Qué conjunto es $\displaystyle A = \bigcup _{ a \in [0, 1) } (\bigcap _{b \in (a, 6]} [b, b + a) )$ ?
4. Muestre que $( \cup_{i \in \mathbb{N}} ( \cap_{j \in \mathbb{N}} A_{i, j} ) )^{c} = \cap_{i \in \mathbb{N}} ( \cup_{j \in \mathbb{N}} A_{i, j}^{c} )$ .
Muestre que si tiene elementos (para un número natural), entonces $\mathcal{P}(A)$ tiene elementos [AYUDA: Piense en un subconjunto de como una sucesión ordenada de ceros y unos].
Definición (filtro): Sea un conjunto no vacío. Un filtro sobre es un conjunto que cumple las siguientes propiedades:
- $F \not= \varnothing$
- es cerrado bajo intersección finita: Si $S_{1}, S_{2} \in F$ , entonces $S_{1} \cap S_{2} \in F$ .
- es cerrado bajo superconjunto: Siempre que $S_{2} \supseteq S_{1}$ y $S_{1} \in F$ , $S_{2} \in F$ .
1. El filtro cofinito o de Fréchet: Sea $F = \{ S \in \mathcal{P}(\mathbb{N}) : S^{c}$ es un conjunto finito $\}$ (aquí $\mathcal{U} = \mathbb{N}$ , de modo que $S^{c} = \mathbb{N} \smallsetminus S$ ). Por ejemplo $\{4, 5, 6, ...\} \in F$ , pero para $n = 1, 2, \ldots$ , $n\mathbb{N} = \{ nx : x \in \mathbb{N} \} = \{ 0, n, 2n, ... \} \not\in F$ . Muestre que es un filtro sobre el conjunto de los números naturales.
2. Dé otro ejemplo de un filtro sobre $\mathbb{N}$ .
3. Diremos que un filtro sobre es ultrafiltro si para todo $A \subseteq X$ , $A \in F$ ó $A^{c} \in F$ . ¿Es el ejemplo que dio un ultrafiltro? ¿Es el filtro de Fréchet un ultrafiltro?
El axioma de separación, que asumiremos, afirma lo siguiente: Dado un conjunto y una propiedad conjuntista (esto es, que sólo utiliza $\in$ y símbolos lógicos), existe un conjunto tal que $\forall x: x \in C \Leftrightarrow (x \in A \wedge P(y))$ (esto es, para todo , pertenece a si y solo si ( pertenece a y tiene la propiedad )). En otras palabras, es el conjunto de los elementos de con la propiedad . Muestre que tal conjunto es único, es decir, que si existe tal que $\forall x: x \in D \Leftrightarrow (x \in A \wedge P(x))$ , entonces .
$\star$ Utilice el axioma de separación y la paradoja de Russell para mostrar que no existe el conjunto de todos los conjuntos.