lunes, 26 de septiembre de 2011

TEORIA DE CONJUNTOS

TEORÍA DE CONJUNTOS:



EJERCICIOS DE TEORÍA DE CONJUNTOS


  1. Verdadero o falso:
    1. $ \forall x : x \supsetneq \emptyset$.
    2. $ \forall x : \emptyset \in x$.
    3. El único conjunto que es subconjunto de todos los conjuntos es el vacío.
    4. $ \emptyset \in \{ \{ \} \}$.
    5. $ \emptyset \subseteq \{ \{ \} \}$.
    6. $ \{ 1 \} \in \mathbb{N}$.
    7. $ \{ 1 \} \subseteq \mathbb{N}$.
    8. $ \{ 1, \{ 2 \} \} \subseteq \mathbb{N}$.

  2. Sea $ 2\mathbb{N}$ el conjunto de los números naturales pares ( $ 0, 2, 4, \ldots $). Escriba $ 2\mathbb{N}$ intensionalmente; más precisamente, encuentre una propiedad $ P(x)$, distinta de ``$ x$ es par'', tal que $ 2\mathbb{N} = \{ x \in \mathbb{N} : P(x) \}$.
  3. Sea $ P$ el conjunto de los números primos (un primo es un entero mayor que $ 1$ cuyo único divisor mayor que $ 1$ es él mismo). Escriba a $ P$ intensionalmente.
  4. Muestre que $ \{ 2x + 5 : x \in \mathbb{Z} \} = \{ 1 + 2y : y \in \mathbb{Z} \}$.
  5. Pruebe las siguientes propiedades de la unión y la intersección:
    1. $ A \subseteq A \cup B$ ; $ A \cap B \subseteq A$.
    2. $ B \subseteq A$ si y sólo si $ A \cup B = A$ ; $ B \subseteq A$ si y sólo si $ A \cap B = B$.
    3. $ A$, $ B \subseteq C$ si y sólo si $ A \cup B \subseteq C$; $ A$, $ B \supseteq C$ si y sólo si $ A \cap B \supseteq C$.
    4. $ A \cup B = A \cap B$ si y sólo si $ A = B$.

  6. $ A \cup B = (A \smallsetminus B) \cup (B \smallsetminus A) \cup (A \cap B)$.
  7. Muestre que $ A \subseteq B $ si y sólo si $ \mathcal{P}(A) \subseteq \mathcal{P}(B)$.
  8. ¿Verdadero o falso? (dar una prueba o un contraejemplo):
    1. Si para todo $ X$ se tiene $ X \cap B = X \cap C$, entonces $ B = C$.
    2. Si existe un $ X$ tal que $ X \cap B = X \cap C$, entonces $ B = C$.
    3. $ (A \cup B) \cap C = A \cup (B \cap C)$.
    4. Si $ A \subseteq B $ y $ B$ y $ C$ son disyuntos, entonces $ A \cap ( B \cup C) = A$ (¿puede debilitar las hipótesis?).
    5. $ (A \cup B) \smallsetminus A = B \smallsetminus A$.
    6. $ A \subseteq B $ si y sólo si $ A \smallsetminus B = \varnothing$.
    7. $ A \smallsetminus (B \smallsetminus C) = (A \smallsetminus B) \smallsetminus C$.

  9. Dados dos conjuntos $ A$ y $ B$, definimos su diferencia simétrica así: $ A \bigtriangleup B = (A \smallsetminus B) \cup ( B \smallsetminus A) $.
    1. Muestre que $ A \bigtriangleup B = ( A \cap B^{c} ) \cup ( B \cap A^{c} ) $.
    2. Muestre que $ A \bigtriangleup B = ( A \cup B ) \smallsetminus ( A \cap B ) $.
    3. Muestre que la operación $ \bigtriangleup $ es conmutativa y asociativa.
    4. ¿Qué conjunto es $ A \bigtriangleup \varnothing $?
    5. ¿Qué conjunto es $ A \bigtriangleup \mathcal{U} $?
    6. ¿Si $ A \subseteq B $, qué conjunto es $ A \bigtriangleup B $?
    7. Muestre que $ ( A \bigtriangleup B)^{c} = (A \cap B) \cup (A \cup B)^{c} $.
    8. Muestre que $ A = B$ si y sólo si $ A \bigtriangleup B = \varnothing $.

  10. Sean $ A_{1}, A_{2}, A_{3} \subseteq \mathcal{U}$. Mostrar las siguientes igualdades:
    1. $ (A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3})^{c} = A_{1}^{c} \cap A_{2}^{c} \cap A_{3}^{c}$.
    2. $ (A_{1}^{c} \cup A_{2} \cup A_{3}^{c})^{c} \cup A_{3}^{c} \cup A_{1}^{c} \cup A_{2} = \mathcal{U}$.
    3. $ ((A_{1}^{c} \cup A_{2})^{c}\cup A_{2})^c \cup (A_{2}^{c} \cup A_{1})^{c} \cup A_{1} = \mathcal{U}$.

  11. Compare los siguiente pares de conjuntos de acuerdo a la relación $ \subseteq $ (piense antes en ejemplos con conjuntos pequeños, después intente demostrar en general las contenencias que cree que siempre valen):
    1. $ \mathcal{P}(A^c)$ Vs. $ ( \mathcal{P}(A) )^{c} $.
    2. $ \mathcal{P}(A \smallsetminus B)$ Vs. $ \mathcal{P}(A) \smallsetminus \mathcal{P}(B))$.
    3. $ \cap_{i \in I} (A \cup A_{i}) $ Vs. $ A \cup ( \cap_{i \in I} A_{i} ) $.
    4. $ ( \cup_{i \in I} A_{i} ) \smallsetminus ( \cup_{i \in I} A_{i} ) $ Vs. $ \cup_{i \in I} ( A_{i} \smallsetminus B_{i} ) $.

  12. Ejercicios de uniones e intersecciones generalizadas:
    1. Muestre que $ \displaystyle \mathbb{Q} = \bigcup _{x \in \mathbb{Q}} ( \cap _{\varepsilon > 0} (x - \varepsilon, x + \varepsilon)) $.
    2. Dado $ s \in \mathbb{R}$, sea $ E_{s} = \{ s \}$. ¿Qué conjunto es $ \displaystyle \bigcup_{s \in \mathbb{Q} } E_{s} $?
    3. ¿Qué conjunto es $ \displaystyle A = \bigcup _{ a \in [0, 1) } (\bigcap _{b \in (a, 6]} [b, b + a) ) $?
    4. Muestre que $ ( \cup_{i \in \mathbb{N}} ( \cap_{j \in \mathbb{N}} A_{i, j} ) )^{c} = \cap_{i \in \mathbb{N}} ( \cup_{j \in \mathbb{N}} A_{i, j}^{c} ) $.

  13. Muestre que si $ A$ tiene $ n$ elementos (para $ n$ un número natural), entonces $ \mathcal{P}(A)$ tiene $ 2^n$ elementos [AYUDA: Piense en un subconjunto de $ A$ como una sucesión ordenada de ceros y unos].
  14. Definición (filtro): Sea $ X$ un conjunto no vacío. Un filtro sobre $ X$ es un conjunto $ F \subseteq \mathcal{P}(X)$ que cumple las siguientes propiedades:
    • $ F \not= \varnothing$
    • $ F$ es cerrado bajo intersección finita: Si $ S_{1}, S_{2} \in F$, entonces $ S_{1} \cap S_{2} \in F$.
    • $ F$ es cerrado bajo superconjunto: Siempre que $ S_{2} \supseteq S_{1}$ y $ S_{1} \in F$, $ S_{2} \in F$.

    1. El filtro cofinito o de Fréchet: Sea $ F = \{ S \in \mathcal{P}(\mathbb{N}) : S^{c}$ es un conjunto finito $ \}$ (aquí $ \mathcal{U} = \mathbb{N}$, de modo que $ S^{c} = \mathbb{N} \smallsetminus S$). Por ejemplo $ \{4, 5, 6, ...\} \in F $, pero para $ n = 1, 2, \ldots$, $ n\mathbb{N} = \{ nx : x \in \mathbb{N} \} = \{ 0, n, 2n, ... \} \not\in F$. Muestre que $ F$ es un filtro sobre el conjunto de los números naturales.
    2. Dé otro ejemplo de un filtro $ E$ sobre $ \mathbb{N}$.
    3. Diremos que un filtro $ F$ sobre $ X$ es ultrafiltro si para todo $ A \subseteq X$, $ A \in F$ ó $ A^{c} \in F $. ¿Es el ejemplo que dio un ultrafiltro? ¿Es el filtro de Fréchet un ultrafiltro?

  15. El axioma de separación, que asumiremos, afirma lo siguiente: Dado $ A$ un conjunto y $ P(x)$ una propiedad conjuntista (esto es, que sólo utiliza $ \in$ y símbolos lógicos), existe un conjunto $ B$ tal que $ \forall x: x \in C \Leftrightarrow (x \in A \wedge P(y))$ (esto es, para todo $ x$, $ x$ pertenece a $ C$ si y solo si ($ x$ pertenece a $ A$ y tiene la propiedad $ P$)). En otras palabras, $ C$ es el conjunto de los elementos de $ A$ con la propiedad $ P$. Muestre que tal conjunto $ C$ es único, es decir, que si existe $ D$ tal que $ \forall x: x \in D \Leftrightarrow (x \in A \wedge P(x))$, entonces $ D = C$.
  16. $ \star$ Utilice el axioma de separación y la paradoja de Russell para mostrar que no existe el conjunto de todos los conjuntos.  
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